Pada dasarnya, sebuah fungsi adalah aturan korespondensi yang menetapkan setiap elemen dari himpunan masukan (yaitu domain) ke tepat satu elemen dalam himpunan keluaran (yaitu jangkauan). Hubungan deterministik ini berfungsi sebagai fondasi utama pemodelan matematis, memungkinkan kita menggambarkan bagaimana perilaku satu variabel secara ketat ditentukan oleh variabel lainnya.
Pertimbangkan Model Konsentrasi Garam: jika kita memompa air garam ke tangki air murni, konsentrasi $C(t)$ merupakan fungsi waktu $t$. Untuk setiap momen tertentu yang kita pilih, hanya ada satu tingkat konsentrasi yang mungkin. Aturan "satu-masukan, satu-keluaran" ini merupakan inti dari kalkulus.
Definisi Fungsi
Sebuah fungsi $f$ adalah aturan yang menetapkan setiap elemen $x$ dalam himpunan $D$ ke tepat satu elemen, disebut $f(x)$, dalam himpunan $E$. Kita merepresentasikannya secara aljabar melalui rumus seperti:
- $y = mx + b$ (Linier)
- $f(x) = \sqrt{x}$ (Akar)
- $\{(x, f(x)) \mid x \in D\}$ (Definisi himpunan-teori)
Fungsi bukan hanya sekadar rumus; dapat didefinisikan melalui tabel nilai (sebuah fungsi tabel) atau bahkan hanya sekumpulan pasangan terurut.
Uji Garis Vertikal (VLT): Sebuah kurva di bidang $xy$ merepresentasikan fungsi dari $x$ jika dan hanya jika tidak ada garis vertikal yang memotong kurva lebih dari sekali. Ini menjamin persyaratan 'satu-keluaran' terpenuhi.
Evaluasi Praktis: Kuosien Selisih
Untuk mengukur perubahan dalam hubungan ini, kita sering mengevaluasi ekspresi $\frac{f(a+h) - f(a)}{h}$.
Misalkan $f(x) = 2x^2 - 5x + 1$. Untuk mengevaluasi kuosien selisih:
- Substitusi $(a+h)$ ke dalam $f$: $f(a+h) = 2(a+h)^2 - 5(a+h) + 1$
- Kembangkan: $2(a^2 + 2ah + h^2) - 5a - 5h + 1 = 2a^2 + 4ah + 2h^2 - 5a - 5h + 1$
- Kurangi $f(a)$: $(2a^2 + 4ah + 2h^2 - 5a - 5h + 1) - (2a^2 - 5a + 1) = 4ah + 2h^2 - 5h$
- Bagi dengan $h$: $\frac{4ah + 2h^2 - 5h}{h} = 4a + 2h - 5$.